zivildiener.de

Hmm…ich würde eher schreiben:

Während meines Zivildienstes beim Deutschen Roten Kreuz konnte ich mein Einfühlungsvermögen verbessern und den bedarfsgerechten Umgang mit Menschen erlernen.
…oder so in etwa halt..

Ja, das geht (ungefähr) so.
Ähnlicher Vorschlag:

Als Zivildienstleistender beim Roten Kreuz verfüge ich über besonderes Einfühlungsvermögen und beherrsche den richtigen Umgang mit Menschen auch in schwierigen Situationen.

Falls dich die unterschiedlichen Zeiten stören, sie sollen wohl aussagen, dass derjenige schon immer einfühlsam war und noch ist, den richtigen Umgang mit Menschen aber erst dort gelernt hat.
Wenn es eine Vorlage für deine Bewerbung sein soll, wäre es erforderlich, den Zivildiener in Zivildienstleistenden umzubenennen und das Rote Kreuz zu verbessern.
Wenn du “verfügte” schreibst, könnte man denken, du verfügst jetzt nicht mehr über Einfühlungsvermögen. Deshalb finde ich die Formulierung von kpsmischa besser.

Als Zivildiener beim Roten Kreuz verfüge ich über Einfühlungsvermögen und lernte den richtigen Umgang mit Menschen.